ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Box-Muller-Methode</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Box-Muller-Methode</h1>

</header>

</div>

Die Box-Muller-Methode (nach <a href="George_Edward_Pelham_Box" class="mw-redirect" title="George Edward Pelham Box">George Edward Pelham Box</a> und <a href="Mervin_Edgar_Muller" class="mw-redirect" title="Mervin Edgar Muller">Mervin Edgar Muller</a> 1958) ist ein Verfahren zur Erzeugung <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">normalverteilter</a> <a href="Zufallszahl" title="Zufallszahl">Zufallszahlen</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Bei dieser Methode werden zunächst zwei unabhängige <a href="Standardzufallszahl" class="mw-redirect" title="Standardzufallszahl">Standardzufallszahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69b0c788a124a32684f109737f7cfab7611d6a58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2b5855eefa1e5c167320e2fb16e432c4931b166.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{2}}" loading="lazy"> benötigt. Diese lassen sich beispielsweise mit einem <a href="Zufallszahlengenerator" title="Zufallszahlengenerator">Zufallszahlengenerator</a> erzeugen. Standardzufallszahlen unterliegen einer <a href="Rechteckverteilung" class="mw-redirect" title="Rechteckverteilung">Rechteckverteilung</a> mit den Parametern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy">.

Es lässt sich zeigen, dass man nach folgendem Transformationsschritt daraus zwei <a href="Standardnormalverteilung" class="mw-redirect" title="Standardnormalverteilung">standardnormalverteilte</a> (stochastisch) unabhängige Zufallszahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e72d1d86e86355892b39b8eb32b964834e113bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.135ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3621e468231ab352b7caa30bcf0ce9b452241a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.135ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{1}}" loading="lazy"> erhält:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{0}={\sqrt {-2\ln u_{1}}}\cos(2\pi u_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89da053a85a9cdb62f27f38a5c87539596a8e104.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:25.812ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle z_{0}={\sqrt {-2\ln u_{1}}}\cos(2\pi u_{2})}" loading="lazy"></dd></dl>

und

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{1}={\sqrt {-2\ln u_{1}}}\sin(2\pi u_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbc7837844d8f6b6f7612a6edbe60c31a4a8810d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:25.556ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle z_{1}={\sqrt {-2\ln u_{1}}}\sin(2\pi u_{2})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Schreibt man das <a href="Geordnetes_Paar" title="Geordnetes Paar">Paar</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (z_{0},z_{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (z_{0},z_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8023713ea3673746f9bad6000f891a22ac672b1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.114ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (z_{0},z_{1})}" loading="lazy"> in <a href="Polarkoordinate" class="mw-redirect" title="Polarkoordinate">Polarkoordinaten</a>, also

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{0}=r\cos \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78fece9f73b38ebb6dfea449a0287f4b856d135b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.688ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z_{0}=r\cos \varphi }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{1}=r\sin \varphi }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{1}=r\sin \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1cf98a0b1a7f6b53f4ce5835acbac15a7cdb8e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.432ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle z_{1}=r\sin \varphi }" loading="lazy">,</dd></dl>

dann gilt:

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\sqrt {-2\ln u_{1}}}\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca6dc57136ccc7db4cac4ea056cae828a618c307.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.12ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle r={\sqrt {-2\ln u_{1}}}\ }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi =2\pi u_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =2\pi u_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704dc982e617ce0cf6a8b8df3882c8fbe56b7e05.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.497ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi =2\pi u_{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Anwendung der <a href="Inversionsmethode" title="Inversionsmethode">Inversionsmethode</a> zur Transformation von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69b0c788a124a32684f109737f7cfab7611d6a58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2b5855eefa1e5c167320e2fb16e432c4931b166.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{2}}" loading="lazy"> in die Polarkoordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> zeigt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> einer <a href="Rechteckverteilung" class="mw-redirect" title="Rechteckverteilung">Rechteckverteilung</a> mit den Parametern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.494ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi }" loading="lazy"> unterliegt und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a363a15442d031416d1eb62254a9c726e3f6c66c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.103ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle r^{2}}" loading="lazy"> einer <a href="Exponentialverteilung" title="Exponentialverteilung">Exponentialverteilung</a> mit dem Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edef8290613648790a8ac1a95c2fb7c3972aea2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.658ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}" loading="lazy">. Aus diesem Ergebnis lässt sich die <a href="Gemeinsame_Verteilung_von_Zufallsvariablen" title="Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen">gemeinsame Verteilung</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3621e468231ab352b7caa30bcf0ce9b452241a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.135ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5abf655fa14f7ea44ad0ca781b59ff59c5f49117.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.135ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{2}}" loading="lazy"> herleiten. Sie beruht auf der Beziehung:

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}r^{2}}\mathrm {d} (r^{2}){\tfrac {1}{2\pi }}\mathrm {d} \varphi ={\tfrac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}r^{2}}r\mathrm {d} r\mathrm {d} \varphi ={\tfrac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}(z_{0}^{2}+z_{1}^{2})}\mathrm {d} z_{0}\mathrm {d} z_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c75015f5122bd4e7b937b81c1e824cb5a98948e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:57.933ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}r^{2}}\mathrm {d} (r^{2}){\tfrac {1}{2\pi }}\mathrm {d} \varphi ={\tfrac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}r^{2}}r\mathrm {d} r\mathrm {d} \varphi ={\tfrac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}(z_{0}^{2}+z_{1}^{2})}\mathrm {d} z_{0}\mathrm {d} z_{1}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die bisherigen Transformationsschritte erzeugen zwei standardnormalverteilte Zufallszahlen. Eine Standardnormalverteilung ist ein Spezialfall der <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a>, nämlich mit dem <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3753282c0ad2ea1e7d63f39425efd13c37da3169.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.663ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu =0}" loading="lazy"> und der <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}=1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/193637e200ca8b182a20186e31c4a195c7fd3555.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.646ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}=1}" loading="lazy">.

Um mit der Box-Muller-Methode Normalverteilungen mit beliebigen Parametern zu erzeugen, lassen sich die erhaltenen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c6e920bac39ad09fff4efef16254595091a1025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.881ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{i}}" loading="lazy"> nach dem Muster

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}=\mu +\sigma \cdot z_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/709fe41e8cc6db45456ec7ec775095bc882ed1cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.36ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{i}=\mu +\sigma \cdot z_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

transformieren. In der obigen Notation steht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy"> wie üblich für die <a href="Kreiszahl" title="Kreiszahl">Kreiszahl</a>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee55beec18afd710e7ab767964b915b020c65093.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.856ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \sin }" loading="lazy"> für den <a href="Sinus" class="mw-redirect" title="Sinus">Sinus</a>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e473a3de151d75296f141f9f482fe59d582a7509.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.111ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \cos }" loading="lazy"> für den <a href="Kosinus" class="mw-redirect" title="Kosinus">Kosinus</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0de5ba4f372ede555d00035e70c50ed0b9625d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln }" loading="lazy"> für den <a href="Nat%C3%BCrlicher_Logarithmus" class="mw-redirect" title="Natürlicher Logarithmus">natürlichen Logarithmus</a>.

Verwendet man zur Erzeugung der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14f13cb025ff2e136dcbd2fc81ddf965b728e3d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{i}}" loading="lazy"> einen <a href="Linearer_Kongruenzgenerator" class="mw-redirect" title="Linearer Kongruenzgenerator">linearen Kongruenzgenerator</a>, so liegen die Paare <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (z_{0},z_{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (z_{0},z_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8023713ea3673746f9bad6000f891a22ac672b1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.114ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (z_{0},z_{1})}" loading="lazy"> auf einer durch eine Spirale beschriebenen Kurve. Dieses Verhalten ist eng mit dem im <a href="Satz_von_Marsaglia" title="Satz von Marsaglia">Satz von Marsaglia</a> beschriebenen <a href="Hyperebene" title="Hyperebene">Hyperebenenverhalten</a> linearer Kongruenzgeneratoren verwandt.

Dieses Problem lässt sich umgehen, wenn statt des linearen Kongruenzgenerators ein <a href="Inverser_Kongruenzgenerator" title="Inverser Kongruenzgenerator">inverser Kongruenzgenerator</a> oder die <a href="Polar-Methode" title="Polar-Methode">Polar-Methode</a> verwendet wird.

Die Box-Muller-Methode erzeugt zunächst zwei stochastisch unabhängige und standardnormalverteilte <a href="Zufallszahl" title="Zufallszahl">Zufallszahlen</a>, die sich dann in eine <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a> mit beliebigen Parametern transformieren lassen. Die Box-Muller-Methode erfordert die Auswertung von <a href="Logarithmus" title="Logarithmus">Logarithmen</a> und <a href="Trigonometrische_Funktion" title="Trigonometrische Funktion">trigonometrischen Funktionen</a>, was auf einigen Rechnern sehr zeitaufwendig sein kann.

Weitere Möglichkeiten zur Erzeugung normalverteilter <a href="Zufallszahl" title="Zufallszahl">Zufallszahlen</a> sind im Artikel <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a> beschrieben. Eine Alternative ist z. B. die <a href="Polar-Methode" title="Polar-Methode">Polar-Methode</a>.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Programmierung">Programmierung</h2></div>

Die Standard-Box-Muller-Methode erzeugt Werte aus der <a href="Standardnormalverteilung" class="mw-redirect" title="Standardnormalverteilung">Standardnormalverteilung</a> mit <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> 0 und <a href="Standardabweichung" class="mw-redirect" title="Standardabweichung">Standardabweichung</a> 1. Die folgende Implementierung in der <a href="Programmiersprache" title="Programmiersprache">Programmiersprache</a> <a href="C%2B%2B" title="C++">C++</a> generiert 10 Paare von standardnormalverteilten <a href="Zufallszahl" title="Zufallszahl">Zufallszahlen</a> aus jeder <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a> mit Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> und <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> und gibt sie auf der Konsole aus.

<div class="mw-highlight mw-highlight-lang-c++ mw-content-ltr" dir="ltr"><pre>#define _USE_MATH_DEFINES

#include <random>

#include <iostream>

using namespace std;

// Diese Funktion berechnet zwei standardnormalverteilte Zufallszahlen z0 und z1

pair<double, double> generateGaussianNoise(double mu, double sigma)

{

constexpr double epsilon = numeric_limits<double>::epsilon();

// Initialisiert den Zufallszahlengenerator im Bereich von 0 bis 1

static mt19937 rng(random_device{}()); // Standard Mersenne-Twister

static uniform_real_distribution<> runif(0, 1);

double u1, u2; // Deklaration der lokalen Variablen für die Zufallszahlen u1 und u2

do // Diese do-while-Schleife erzeugt solange Zufallszahlen bis u1 > epsilon ist

{

u1 = runif(rng);

} while (u1 <= epsilon);

u2 = runif(rng);

// Berechnet z0 und z1

auto magnitude = sigma * sqrt(-2.0 * log(u1));

auto z0 = magnitude * cos(2.0 * M_PI * u2) + mu;

auto z1 = magnitude * sin(2.0 * M_PI * u2) + mu;

return make_pair(z0, z1);

}

// Hauptfunktion die das Programm ausführt

void main()

{

double mu = 0; // Deklaration der lokalen Variablen

double sigma = 1;

for (int i = 0; i < 10; i++) // Diese for-Schleife berechnet 10 Paare von standardnormalverteilten Zufallszahlen und gibt sie auf der Konsole aus

{

pair<double, double> gaussianNoise = generateGaussianNoise(mu, sigma); // Aufruf der Funktion

cout << gaussianNoise.first << "," << gaussianNoise.second << endl; // Ausgabe auf der Konsole

}

}

</pre></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Box-MullerTransformation.html">Box-Muller Transformation.</a> In: <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> (englisch).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>George Edward Pelham Box, Mervin Edgar Muller: A note on the generation of random normal deviates. In: <a href="Annals_of_Mathematical_Statistics" class="mw-redirect" title="Annals of Mathematical Statistics">Annals of Mathematical Statistics</a>, Jg. 29 (1958), Heft 2, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220003-4851%22&key=cql">0003-4851</a>, S. 610–611.</li>

<li><a href="Donald_Ervin_Knuth" class="mw-redirect" title="Donald Ervin Knuth">Donald Ervin Knuth</a>: <a href="The_Art_of_Computer_Programming" title="The Art of Computer Programming">The Art of Computer Programming</a>, Sec. 3.4.1, S. 117.</li>

<li>Otto Moeschlin, Eugen Grycko, Claudia Pohl, Frank Steinert: Kapitel 1.4 Generating Sample Values. In: Diess.: Experimental Stochastics. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-14619-9.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Vgl. Albert J. Kinderman und John G. Ramage: Computer Generation of Normal Random Numbers. In: Journal of the American Statistical Association, Jg. 71 (1976), Heft 356, S. 893–896.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>